Сегодня, 23-го февраля, сам Бог велел поговорить о боге войны артиллерии. Всякий, кто хоть немного интересуется военным делом, знает, какую огромную роль она играет во время войны. Особо любознательные знают и знаменитые орудия и системы: "трехдюймовку", ЗиС-3, "Катюшу" (и немецкий Nebelwerfer), а из современного "Акацию" и "Гиацинт", минометы "Василек" и "Тюльпан" и прочий цветник.
Вероятностно-статистические методы в артиллерии обычно остаются в тени лоска парадов и грома боев. А между прочим именно они во многом и обеспечивают победу в бою. В этой статье мы перейдем от "Акаций" к акциям и поговорим о вездесущем нормальном распределении - чрезвычайно полезном как в теории стрельбы, так и в управлении инвестиционным портфелем.
Когда я проходил обучение по специальности "оптическая разведка в артиллерии", теории вероятностей (в приложении к теории стрельбы) нас особо не учили. Преподаватели ограничивались рассказами о том, как их мучили этой теорией в училищах (с намеком на то, что мы должны быть благодарны, что нас минует чаша сия). Я, однако, был любознательным студентом - и потому подобные разговоры лишь разжигали мое любопытство. Тем более что по основной специальности (экономика), какой-никакой теорвер нам преподавали. В результате с применением математических методов в артиллерии я познакомился по замечательному учебнику "Теория вероятностей" Елены Сергеевны Вентцель. Елене Сергеевне удалось почти невозможное - просто и понятно, но одновременно довольно глубоко и широко изложить весьма нетривиальный предмет. Оказалось, что теория стрельбы во многом опирается на (двумерное) нормальное распределение. В одномерном случае его плотность задается формулой
а двумерном
где
А что такое случайные величины
R - бесплатная программа статистического анализа - позволяет нам просимулировать по методу Монте-Карло выборку из случайной величины, распределенной по двумерному нормальному закону. Точнее, из двух таких величин - средние и дисперсии в обоих случаях одинаковы, а вот коэффициенты корреляции разные: в первом случае (т.е.
и
независимы, а во втором
(что означает весьма сильную взаимозависимость
и
). Вот программный код на встроенном языке R
N=100 mu1 = 0.02 sigma1 = 0.1 mu2 = 0.01 sigma2 = 0.05 rhoA = 0.0 rhoB=0.7 x1 = rnorm(N, 0.02, 0.1) x2A = rhoA * x1 + sqrt(1-rhoA*rhoA)*rnorm(N, mu2, sigma2) x2B = rhoB * x1 + sqrt(1-rhoB*rhoB)*rnorm(N, mu2, sigma2) library(plotrix) par(mfrow=c(1,2)) plot(x1, x2A, xlim=c(-0.5,0.5), ylim=c(-0.5,0.5)) abline(h=0, v=0, lty=2) draw.circle(0,0,sigma1,nv=100,border="blue",lty=1) draw.circle(0,0,3*sigma1,nv=100,border="red",lty=1) plot(x1, x2B, xlim=c(-0.5,0.5), ylim=c(-0.5,0.5)) abline(h=0, v=0, lty=2)
В деталях вникать в него при первом знакомстве с предметом необязательно, поясним только значения параметров. может означать как число трейдов (а в случае пассивных инвестиций - скажем, месяцев в течение которых мы держим порфель), так и число выпущенных по цели снарядов. Да-да, 100 снарядов - это еще мало, даже на одиночную цель (к примеру, установку ПТУР) при стрельбе с закрытых огневых позиций расходуют куда больше снарядов (хотя понятно, что для уничтожения такой цели достаточно одного прямого попадания). А по одиночным танкам вести стрельбу с закрытых огневых позиций вообще считается нецелесеобразным. Ибо когда ведут огонь с закрытых огневых позиций, снаряды попадают не точно в цель, а в эллипс рассеивания вокруг цели. В первом нашем случае (типичное) рассеивание составляет 100 метров (0.1 километра) по x1 и 50 метров (0.05 километров) по x2. Говоря проще - это продольное и боковое рассеивание (продольное обычно всегда больше - недолеты-перелеты). Так что осколки-то до цели долетят, а вот прямого попадания может и не быть. Поэтому-то по установке ПТУР стрелять смысл есть, а по танку смысла мало.
А иногда этот эллипс еще и смещен - если у орудия или прицела есть систематические погрешности. В нашем случае смещения составляют 20 и 10 метров. Но такие смещения обычно быстро корретируются при пристрелке. Ну а что же коэффициент корреляции?! При стрельбе его можно принять равным нулю, разве что сильный ветер дует под углом к направлению стрельбы, тогда преобладает снос, к примеру, вправо-вперед. А так продольное и боковое рассеивания друг от друга обычно не зависят.
А вот в случае с акциями корреляциями обычно пренебрегать нельзя - вот, к примеру, как выглядят дневные колебания курсов акций Даймлера и ДойчеБанка.
Сравните их с правым графиком на первом рисунке - не правда ли похоже?! По крайней мере если не считать аномалий на концах, обведенных зеленым и красным (но об этих аномалиях - в другой раз).
Ну и напоследок очень полезный практический пример. Наверняка вам приходилось слышать от оголтелых сторонников пассивного инвестировая, что надо каждый месяц покупать акции и держать их - мол, долгосрочно у такого портфеля есть только один путь - наверх. Что ж, для американского SPY и немецкого DAX это исторически верно (а вот для японского NIKKEI уже нет). Но допустим, что NIKKEI - это досадное исключение (восток - дело тонкое). Но тут есть нюанс - во-первых, мы делаем не большое разовое вложение, а накопительный план - каждый месяц понемногу (ибо много-то у большинства нет). А во-вторых, деньги нам нужны не через "абстрактный долгосрок", а через конкретный временной промежуток - обычно 10, 20 или 30 лет. Можно ли оценить ожидаемый доход и вероятность потерь таких накопительно-инвестиционных планов?! Да, можно, и тут нам опять поможет нормальное распределение, причем на этот раз хватит и одномерного.
Посмотрите, как четко плотность нормального распределения ложится на эмпирическую плотность распределения годовых доходностей по немецкому индексу DAX! А справа - так называемый QQ-plot - точки почти на одной прямой, что тоже говорит о том, что модель хорошо отображает эмпирические данные.
Ну а дальше запрограммировать симулятор сценариев - дело техники. И кстати, для немецкого DAX'а любопытные результаты он дает:
Срок инвест. |
Вероятность потерь | Ожидаемая доходность |
Медианная доходность |
10 лет | 20% | 158% | 141% |
20 лет | 15% | 280% | 224% |
30 лет | 8% | 459% | 340% |
Так что, как видите, не бывает инвестиций без риска потерь, так же как не бывает без них войны. Но все-таки лучше "воевать" на бумаге, не так ли?! В бою (или с реальными деньгами) опыт дается дорого, а математика - это часть физики (и вообще любой науки), где эксперименты стоят дешево - так говаривал академик Арнольд.
P.S.
Сторонники Талеба, особенно те, что знакомы с его трудами лишь поверхностно, наверняка уже кипят от возмущения - мол, неправильно применять к моделириванию рынков нормальное распределение. Поясняем: для (внутри)дневной торговли, конечно, неправильно - о чем, в частности, свидетельствуют корреляционные аномалии и "тяжелые хвосты" на втором графике. Но для долгосрочного инвестирования, когда резкие падения и бурный рост сглаживают друг друга - вполне адекватно. Посмотрите еще раз на последний график, чтоб убедиться в этом.
Более того, наша задача - опровергнуть миф о безрисковом долгосрочном инвестировании. И уж если даже нормальное распределение показывает, что безрисковых инвестиций в рисковые активы не бывает, то задачу можно считать 100%-но выполненнной, ибо нормальное распределение - это самое оптимистичное, что можно предположить, отталкиваясь от реальных фактов.
FinViz - an advanced stock screener (both for technical and fundamental traders)